老师，问一个关于evaluation metric和loss function之间关系的问题。
对于一个model，我们可以选择不一样的metric，比如连续型label，可以选mse，mae等，对于分类型label，可以选accuracy，precision/recall，AUC等。那么，不同的metric是否就对应着不同的loss function？比如，在linear regression中，如果选mae作为metric，loss funtion就应该是|yhat - y|？再比如，logistic regression中，如果选precision/recall作为metric，对应的loss function就不再是课堂上教的那个log loss 的形式了？或者， 在tree模型中，每一次选node split的loss function就不一样了？是这么理解的吗？谢谢。
这个问题没有标准答案，以下是我的看法：
我认为，loss function和evaluation metric是不一定是等同的。我们当然希望两者等同，即"把我们要优化的指标作为evaluation metric, 然后直接用Loss function优化这个指标"，但大部分情况下我们无法做到两者等同。核心原因是，模型的loss function的可选形式非常有限：常用的绝对不超过10个，比如 squared loss, absolute loss, cross-entropy loss, exponential loss, hinge loss。定义loss function时，我们还要考虑到它是否可解，不是随便一个什么函数都能作为loss function出现的。loss function的灵活变化最多是几个不同的loss function的叠加，但也不是随便任意两个loss function都能叠加的，也要考虑求解的问题。
结合你说的例子，如果我们要optimize precision, loss function有办法利用x来描述precision这件事情么？ 我认为没有数学形式能用feature把precision的意义描述出来，它只能去优化cross-entropy. 这确实导致了loss function和evaluation metric之间的一个gap, 但考虑到loss function的可解性，这是我们不得不做的妥协。